Question

已知点O（0，0）、Q₀（0，1）和点R₀（3，1），记Q₀R₀的中点为P₁，取Q₀P₁和P₁R₀中的一条，记其端点为Q₁、R₁，使之满足（|OQ₁|-2）（|OR₁|-2）＜0，记Q₁R₁的中点为P₂，取Q₁P₂和P₂R₁中的一条，记其端点为Q₂、R₂，使之满足（|OQ₂|-2）（|OR₂|-2）＜0．依次下去，得到P₁，P₂，…，P_n，…，则

lim

n→∞

|Q0Pn|=

 

．

Answer 1

分析：由题意（|OQ₁|-2）（|OR₁|-2）＜0，（|OQ₂|-2）（|OR₂|-2）＜0．依次下去，则Q₁、R₁；Q₂、R₂，…中必有一点在（

3

， 1）的左侧，一点在右侧，根据题意推出P₁，P₂，…，P_n，…，的极限为：（

3

， 1），然后求出

lim

n→∞

|Q0Pn|．

解答：解：由题意（|OQ₁|-2）（|OR₁|-2）＜0，所以第一次只能取P₁R₀一条，（|OQ₂|-2）（|OR₂|-2）＜0．依次下去，则Q₁、R₁；Q₂、R₂，…中必有一点在（

3

， 1）的左侧，一点在右侧，由于P₁，P₂，…，P_n，…，是中点，根据题意推出P₁，P₂，…，P_n，…，的极限为：（

3

， 1），所以

lim

n→∞

|Q0Pn|=|Q₀P₁|=

3

，
故答案为：

3

．

点评：本题是基础题，考查数列的极限，数列与解析几何的综合，极限的思想的应用，注意分析题意，P_n的规律是本题解答的关键，考查逻辑推理能力．