Question

（2007•深圳一模）已知点H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（Ⅱ）过定点D（m，0）（m＞0）作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：∠AED=∠BED；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于x轴的直线l'被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出l'的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）设M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）则可得

HP

=(3，-

y

2

)，

PM

=(x，

3y

2

)，由

HP

•

PM

=0代入整理可求点M的轨迹C；
（II）要证明∠AED=∠BED，根据直线的倾斜角与斜率的关系，只要证K_AE=-K_BE即可；分两种情况讨论：（1）当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED=∠BED；（2）当直线l与x轴不垂直时，利用直线的斜率进行转换即得；
（III）假设存在满足条件的直线，根据垂径定理得性质可知，要使弦长为定值，则只要圆心到直线的距离为定值即可．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）（x'＞0）∵

PM

=-

3

2

MQ

，

HP

•

PM

=0．
∴(x，y-y′)=-

3

2

(x′-x，-y)且（3，y'）•（x，y-y'）=0…（2分）
∴x′=

1

3

x，y′=-

1

2

y，3x+yy′-y′2=0．…（3分）∴y²=4x（x＞0）…（4分）
∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）．…（5分）
（Ⅱ）：（1）当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED=∠BED；…（6分）
（2）当直线l与x轴不垂直时，依题意，可设直线l的方程为y=k（x-m）（k≠0，m＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A，B两点的坐标满足方程组

y=k(x-m) y2=4x(x＞0)

消去x并整理，得ky²-4y-4km=0∴y1+y2=

4

k

，y1y2=-4m…（7分）
设直线AE和BE的斜率分别为k₁、k₂，则k₁+k₂=

y1

x1+m

+

y2

x2+m

=

y1(x2+m)+y2(x1+m)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 y1 y 2 2 + 1 4 y2 y 2 1 +m(y1+y2)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 y1y2(y1+y2)+m(y1+y2)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 (-4m)( 4 k )+ 4m k

(x1+m)(x2+m)

=0…（9分）
∴tan∠AED+tan（180°-∠BED）=0∴tan∠AED=tan∠BED∵0＜∠AED＜

π

2

，0＜∠BED＜

π

2

∴∠AED=∠BED．综合（1）、（2）可知∠AED=∠BED．…（10分）
（Ⅲ）假设存在满足条件的直线l'，其方程为x=a，AD的中点为O'，l'与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则O'H⊥FG，O'点的坐标为(

x1+m

2

，

y1

2

)．
∵|O′F|=

1

2

|AD|=

1

2

(x1-m)2+ y 2 1

=

1

2

(x1-m)2+4x1

|O′H|=|a-

x1+m

2

|=

1

2

|2a-x1-m|，
∴|FH|²=|O'F|²-|O'H|²=

1

4

[(x1-m)2+4x1]-

1

4

(2a-x1-m)2=（a-m+1）x₁+a（m-a）…（12分）
∴|FG|²=（2|FH|）²=4[（a-m+1）x₁+a（m-a）]
令a-m+1=0，得a=m-1
此时，|FG|²=4（m-1）
∴当m-1＞0，即m＞1时，|FG|=2

m-1

（定值）
∴当m＞1时，满足条件的直线l'存在，其方程为x=m-1；当0＜m≤1时，满足条件的直线l'不存在．…（14分）

点评：本题以向量得数量积得坐标表示为载体考查了圆锥曲线得求解及直线与圆、圆锥曲线的位置关系得求解．属于综合试题．