Question

19．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$cos²x+2sinxcosx-m的最大值为2，求函数的最小正周期和m的值．

Answer 1

分析 利用倍角公式及两角和与差的正弦函数公式可求解析式f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$-m，利用周期公式即可得解周期，利用正弦函数的值域即可解得m的值．

解答 解：∵f（x）=2$\sqrt{3}$cos²x+2sinxcosx-m
=2$\sqrt{3}$×$\frac{1-cos2x}{2}$+sin2x-m
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$-m
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$-m
∴函数的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
∴f（x）_max=2+$\sqrt{3}$-m=2，解得：m=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了倍角公式及两角和的正弦函数公式，周期公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．