Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosA=bcosC+ccosB．
（1）求角A的大小；
（2）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosA的值，即可确定A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将a与b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积即可．

解答： 解：（1）利用正弦定理化简2acosA=bcosC+ccosB，
得：2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosA=

1

2

，
∵A为三角形内角，
∴A=

π

3

；
（2）∵a=6，b+c=8，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，即b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=36，
又b+c=8，
∴bc=

28

3

，
则S=

1

2

bcsinA=

1

2

×

28

3

×

3

2

=

7 3

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．