Question

已知f（x）是定义在区间[0，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0有

f(a)+f(b)

a+b

＞0恒成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；
（2）若f（x）≤m²-2am+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在[-1，1]上是的增函数；
（2）利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式f（x）≤m²-2am+1进行转化，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数．
下用定义证明：
设-1≤x₁＜x₂≤1，
则：f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

(x1-x2)＜0，
可知f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f（x）≤f（1）=1，
即f（x）_max=1
依题意有m²-2am+1≥1，对a∈[-1，1]恒成立，
即m²-2am≥0恒成立．
令g（a）=-2ma+m²，它的图象是一条线段，
则

g(-1)=m2+2m≥0 g(1)=m2-2m≥0

，
即

m≥0或m≤-2 m≥2或m≤0

∴m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．