Question

19．已知函数f（x）=|x|+|x-3|．
（1）解关于x的不等式f（x）-5≥x；
（2）设m，n∈{y|y=f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，即可解关于x的不等式f（x）-5≥x；
（2）由（1）易知f（x）≥3，所以m≥3，n≥3，利用作差法，即可比较mn+4与2（m+n）的大小．

解答 解：（1）$f（x）=|x|+|{x-3}|=\left\{{\begin{array}{l}{3-2x，x＜0}\\{3，0≤x≤3}\\{2x-3，x＞3}\end{array}}\right.$…（2分）
得$\left\{{\begin{array}{l}{x＜0}\\{3-2x≥x+5}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{0≤x≤3}\\{3≥x+5}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞3}\\{2x-3≥x+5}\end{array}}\right.$，解之得$x≤-\frac{2}{3}$或x∈ϕ或x≥8，
所以不等式的解集为$（{-∞，-\frac{2}{3}}]∪[{8，+∞}）$…（5分）
（2）由（1）易知f（x）≥3，所以m≥3，n≥3…（7分）
由于2（m+n）-（mn+4）=2m-mn+2n-4=（m-2）（2-n）…（8分）
且m≥3，n≥3，所以m-2＞0，2-n＜0，即（m-2）（2-n）＜0，
所以2（m+n）＜mn+4…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查大小比较，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．