Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$cosC=\frac{1}{8}，C=2A$．
（1）求cosA的值；
（2）若a=4，求c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及二倍角的余弦函数公式可求${cos^2}A=\frac{9}{16}$，结合C为锐角，A也为锐角，可求cosA的值．
（2）由cosA，cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，sinC的值，由正弦定理可得c的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由$cosC=cos2A=2{cos^2}A-1=\frac{1}{8}$，得${cos^2}A=\frac{9}{16}$，…3分
由$cosC=\frac{1}{8}$知C为锐角，故A也为锐角，
所以：cosA=$\frac{3}{4}$，…6分
（2）由cosA=$\frac{3}{4}$，可得：sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
由$cosC=\frac{1}{8}$，可得sinC=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，…9分
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，可得：c=$\frac{asinC}{sinA}$=6，
所以：c=6．…（12分）

点评 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．