Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x≥1}\\{1-\frac{x}{2}，x＜1}\end{array}\right.$，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x₁，x₂，则x₁+x₂的取值范围是（　　）

• A． [4-2ln2，+∞）
• B． [1+$\sqrt{e}$，+∞）
• C． [4-2ln2，1+$\sqrt{e}$）
• D． （-∞，1+$\sqrt{e}$）

Answer 1

分析 由题意可知：当x≥1时，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1-$\frac{x}{2}$＞$\frac{1}{2}$，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则x₁+x₂=e^t+2-2t，t＞$\frac{1}{2}$，设g（t）=e^t+2-2t，t＞$\frac{1}{2}$，求导，利用导数求得函数的单调性区间，即可求得x₁+x₂的取值范围．

解答 解：当x≥1时，f（x）=lnx≥0，
∴f（x）+1≥1，
∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
当x＜1，f（x）=1-$\frac{x}{2}$＞$\frac{1}{2}$，
f（x）+1＞$\frac{3}{2}$，
f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
综上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，
则f（x）+1=e^-m，f（x）=e^-m-1，有两个根x₁，x₂，（不妨设x₁＜x₂），
当x≥1是，lnx₂=e^-m-1，当x＜1时，1-$\frac{{x}_{1}}{2}$=e^-m-1，
令t=e^-m-1＞$\frac{1}{2}$，则lnx₂=t，x₂=e^t，1-$\frac{{x}_{1}}{2}$=t，x₁=2-2t，
∴x₁+x₂=e^t+2-2t，t＞$\frac{1}{2}$，
设g（t）=e^t+2-2t，t＞$\frac{1}{2}$，
求导g′（t）=e^t-2，令g′（t）=0，解得：t=ln2，
t∈（$\frac{1}{2}$，ln2），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，
t∈（ln2，+∞），g′（t）＞0，函数g（t）单调递增，
∴当t=ln2时，g（t）取最小值，最小值为：g（t）_min=g（ln2）=2+2-2ln2=4-2ln2，
∴g（x）的值域为[4-2ln2，+∞），
∴x₁+x₂取值范围[4-2ln2，+∞），
故选：A．

点评 本题考查函数零点的判定，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．