Question

7．在直角坐标系xOy中，曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosa+1}\\{y=\sqrt{2}sina+1}\end{array}\right.$（α为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=m（m∈R）．
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C上存在点P到直线l的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的极坐标方程展开得：$ρsinθ+ρcosθ-\sqrt{2}m$=0，由此能求出直线l的直角坐标方程．
（Ⅱ）曲线C的普通方程为：（x-1）²+（y-1）²=2，曲线C是一个圆，圆心C到直线l的距离$d=\frac{|1+1-\sqrt{2}m|}{\sqrt{2}}$$≤\frac{3\sqrt{2}}{2}$，由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=m（m∈R）．
展开得：$ρsinθ+ρcosθ-\sqrt{2}m$=0，…（3分）
所以直线l的直角坐标方程为：x+y-$\sqrt{2}m$=0．…（5分）
（Ⅱ）曲线C的普通方程为：（x-1）²+（y-1）²=2，
所以曲线C是一个圆；…（7分）
由已知可得，圆心C到直线l的距离$d=\frac{|1+1-\sqrt{2}m|}{\sqrt{2}}$$≤\frac{3\sqrt{2}}{2}$，…（9分）
解得-$\frac{\sqrt{2}}{2}≤m≤\frac{5\sqrt{2}}{2}$．…（10分）

点评 本题考查直线的直角坐标方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程互化公式的合理运用．