Question

16．已知F₁（-4，0），F₂（4，0），点M为⊙F₂：（x-4）²+y²=100上任意一点，F₁M的垂直平分线交MF₂于点P．
（1）求P点的轨迹方程；
（2）求点P到N（3，0）的距离的最值．

Answer 1

分析 （1）|PF₁|+|PF₂|=|PM|+|PF₂|=10＞8=|F₁F₂|，利用椭圆的定义即可判断出轨迹为椭圆．
（2）设P（x，y），则|PN|=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{25}{x}^{2}-6x+18}$，x∈[-5，5]，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）|PF₁|+|PF₂|=|PM|+|PF₂|=10＞8=|F₁F₂|，∴P点的轨迹是以F₁，F₂，为焦点的椭圆，
a=5，c=4，b=3．
点P的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（2）设P（x，y），则|PN|=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{25}{x}^{2}-6x+18}$=$\sqrt{\frac{16}{25}（x-\frac{75}{16}）^{2}+\frac{63}{16}}$，
∵x∈[-5，5]，∴|PN|∈$[\frac{3\sqrt{7}}{4}，8]$．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．