Question

8．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．
（I） 求f（0）及f（x）*f（-x）的值；
（Ⅱ）判断函数g（x）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$是否具有奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；
（Ⅳ）若数列{a_n}满足a₁=f（0），且f（a_n+1）=$\frac{1}{f（-2-{a}_{n}）}$（n∈N^*），求证：{a_n}是等差数列，并求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （I）令x=y=0得出f（0），令y=-x得出f（x）f（-x）=f（0）；
（II）求出g（x）的定义域，计算g（-x）并化简得出结论；
（III）设x₁＜x₂，根据f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂）得出$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$=f（x₁-x₂）＞1，得出结论；
（IV）根据f（-x）f（x）=1得出a_n+1-a_n-2=0得出结论．

解答 解：（I）令x=y=0得f（0）=f²（0），又f（0）≠0，
∴f（0）=1．
令y=-x得f（x）f（-x）=f（0）=1．
（II）∵f（x）f（-x）=1，∴f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$，
∵x＜0时，f（x）＞1，∴x＞0时，0＜f（x）＜1，
由g（x）有意义得f（x）≠1，∴x≠0，
即g（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
∴g（-x）=$\frac{1+f（-x）}{1-f（-x）}$=$\frac{1+\frac{1}{f（x）}}{1-\frac{1}{f（x）}}$=$\frac{1+f（x）}{f（x）-1}$=-g（x），
∴g（x）是奇函数．
证明：（III）设x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∵f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂），
∴$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$=f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是R上的减函数．
（IV）∵f（a_n+1）=$\frac{1}{f（-2-{a}_{n}）}$，∴f（a_n+1）f（-2-a_n）=1，
∵f（x）f（-x）=1，
∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2，
又a₁=f（0）=1，
∴{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．

点评 本题考查了函数函数性质的应用，函数奇偶性的判断，单调性的判断，等差数列的判断，属于中档题．