Question

4．已知2sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$（0＜θ＜π），则tanθ=-$\frac{90+5\sqrt{86}}{168}$．

Answer 1

分析 由题意和cos²θ+sin²θ=1，解方程组可得sinθ和cosθ，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．

解答 解：∵θ∈（0，π），2sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴可得：cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$-2sinθ，
又∵cos²θ+sin²θ=1，
∴5sin²θ-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$sinθ-$\frac{7}{9}$=0，解得：sinθ=$\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{43}}{30}$，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{43}}{15}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{90+5\sqrt{86}}{168}$．
故答案为：-$\frac{90+5\sqrt{86}}{168}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．