Question

5．近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为y=2x²+（15-4k）x+120k+8，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后当日产量x=1时，总成本y=142．
（1）求k的值；
（2）若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？

Answer 1

分析 （1）求出除尘后的函数解析式，利用当日产量x=1时，总成本y=142，代入计算得k=1；
（2）求出每吨产品的利润，利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）由题意，除尘后y=2x²+（15-4k）x+120k+8+kx=2x²+（15-3k）x+120k+8，
∵当日产量x=1时，总成本y=142，代入计算得k=1；
（2）由（1）y=2x²+12x+128，
总利润L=48x-（2x²+12x+128）=36x-2x²-128，（x＞0）
每吨产品的利润=$\frac{L}{x}$=36-2（x+$\frac{64}{x}$）≤36-4$\sqrt{x•\frac{64}{x}}$=4，
当且仅当x=$\frac{64}{x}$，即x=8时取等号，
∴除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元．

点评 本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题，考查学生的计算能力，属于中档题