Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

3

，实轴长为2．
（1）求双曲线C的方程；   
（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为4

2

，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由离心率为

3

，实轴长为2．可得

c

a

=

3

，2a=2，再利用b²=c²-a²=2即可得出．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与双曲线的联立可得x²-2mx-m²-2=0，利用根与系数的关系可得|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[4m2+4(m2+2)]

=4

2

，即可得出．

解答： 解：（1）由离心率为

3

，实轴长为2．
∴

c

a

=

3

，2a=2，解得a=1，c=

3

，
∴b²=c²-a²=2，
∴所求双曲线C的方程为x2-

y2

2

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=x+m x2- y2 2 =1

⇒x2-2mx-m2-2=0，
△＞0，化为m²+1＞0．
∴x₁+x₂=2m，x1x2=-m2-2．
∴|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[4m2+4(m2+2)]

=4

2

，
化为m²=1，
解得m=±1．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．