Question

4．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且周期为2，当0≤x≤1时，f（x）=x²，若直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个公共点，则实数a的值为（　　）

• A． n（n∈Z）
• B． 2n（n∈Z）
• C． 2n或2n-$\frac{1}{4}$（n∈Z）
• D． n或n-$\frac{1}{4}$（n∈Z）

Answer 1

分析 因为f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，所以当-1≤x≤1时，f（x）=x²；画出函数图形，判断出恰有两个公共点时的情形．

解答 解：因为f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，所以当-1≤x≤1时，f（x）=x²；
①由图象可知当直线y=x+a经过点（0，0）时，直线y=x+a与y=f（x）恰有两个公共点，此时a=0，由于函数f（x）是周期为2的函数，所以当a=2n时，直线y=x+a与曲线f（x）恰有两个公共点．
②由图象可知直线y=x+a与f（x）=x²相切时，直线y=x+a与曲线f（x）也恰有两个公共点．
f'（x）=2x，由f'（x）=2x=1，解得x=$\frac{1}{2}$，所以y=$\frac{1}{4}$，即切点为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），代入直线y=x+a得a=-$\frac{1}{4}$．
由于函数f（x）是周期为2的函数，所以当a=2n-$\frac{1}{4}$时，直线y=x+a与曲线f（x）恰有两个公共点．
故选：C

点评 本题主要考查了函数图形的基本特征、函数的基本性质、数学结合思想，属中等题．