Question

14．已知函数f（x）=cos（x+$\frac{π}{4}$）sinx，则函数f（x）的图象（　　）

• A． 最小正周期为T=2π
• B． 关于点（$\frac{π}{8}$，-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）对称
• C． 在区间（0，$\frac{π}{8}$）上为减函数
• D． 关于直线x=$\frac{π}{8}$对称

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性，得出结论

解答 解：∵函数f（x）=cos（x+$\frac{π}{4}$）sinx=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）•sinx=$\frac{\sqrt{2}}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（sin2x+cos2x）-$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，故A不正确；
令x=$\frac{π}{8}$，求得f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{8}$对称，
且f（x）的图象不关于点（$\frac{π}{8}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）对称，故B不正确、D正确；
在区间（0，$\frac{π}{8}$）上，2x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{4}$ 为增函数，故C不正确，
故选：D．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．