Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴是短轴的两倍，点A(

3

，

1

2

)在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k₁、k、k₂，且k₁、k、k₂恰好构成等比数列，记△ABO的面积为S．
（1）求椭圆C的方程．
（2）试判断|OA|²+|OB|²是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？
（3）求S的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴是短轴的两倍，点A(

3

，

1

2

)在椭圆上，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，根据k₁、k、k₂恰好构成等比数列，求出k，进而表示出|OA|²+|OB|²，即可得出结论；
（3）表示出△ABO的面积，利用基本不等式，即可求S的最大值．

解答： 解：（1）由题意可知a=2b且

3

a2

+

1

4b2

=1，
∴a=2，b=1，…2分
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线l的方程代入椭圆方程，消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

且△=16（1+4k²-m²）＞0，
∵k₁、k、k₂恰好构成等比数列．
∴k²=k₁k₂=

(kx1+m)(kx2+m)

x1x2

∴-4k²m²+m²=0，
∴k=±

1

2

，
此时△=16（2-m²）＞0，即m∈（-

2

，

2

）
∴x₁+x₂=±2m，x₁x₂=2m²-2
∴|OA|²+|OB|²=x12+y12+x22+y22=

3

4

[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+2=5，
∴|OA|²+|OB|²是定值为5．…
（3）S=

1

2

|AB|d=

1

2

1+k2

|x1-x2|•

|m|

1+k2

=

1

2

4m2-(8m2-8)

|m|
=

(2-m2)m2

≤

( 2-m2+m2 2 )2

=1，
当且仅当m=±1时，S的最大值为1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，等比数列的性质，基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．