Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）上纵坐标为p的点到焦点F的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）若抛物线的准线与y轴交于点M，过M作直线与抛物线在第一象限的部分交于A，B两点，其中点B在A、M两点之间，直线AF与抛物线的另一个交点为C，求

|AB|

|AC|+8

的范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得p+

p

2

=3，由此能求出抛物线方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）设直线AB：y=k₁x-1，直线AC：y=k₂x+1，与x²=4y联立方程组，得：
x²-4k₁x+4=0，x²-4k₂x-4=0，由△＞0，得k₁＞1，且

x1+x2=4k1 x1x2=4

，

x1+x3=4k2 x1x3=-4

，由此能求出

|AB|

|AC|+8

的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线C：x²=2py（p＞0）上纵坐标为p的点到焦点F的距离为3，
∴p+

p

2

=3，解得p=2，
∴抛物线方程为x²=4y．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
设直线AB：y=k₁x-1，直线AC：y=k₂x+1，与x²=4y联立方程组，得：
x²-4k₁x+4=0，x²-4k₂x-4=0，
由△＞0，得k₁＞1，
且

x1+x2=4k1 x1x2=4

，

x1+x3=4k2 x1x3=-4

，
∴x₂=-x₃，结合x₁+x₃=4k₂，得x₁-x₂=4k₂，
又∵x₁+x₂=4k₁，x₁x₂=4，
由(x1+x2)2=(x1-x2)2+4x1x2，得k12=k22+1，
∴|AB|=4

k14-1

，AC=4（1+k₂²）=4k12，
∴

|AB|

|AC|+8

=

k14-1

k12+2

，设k12+2=t，t＞3，

k14-1

k12+2

=

1- 4 t + 3 t2

∈（0，1）．

点评：本题考查抛物线方和的求法，考查两条线段的比值的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．