Question

已知，，圆，一动圆在轴右侧与轴相切，同时与圆相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以，为焦点的椭圆。
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且，求曲线E的标准方程；
（3）在（1）、（2）的条件下，直线与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线的斜率的取值范围。

Answer 1

（1）；（2）

试题分析：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x＞0），由动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F₂相外切，知|CF₂|-x=1，由此能求出曲线C的方程．
（2）依题意，c=1，|PF₁|=，得x_p=，由此能求出曲线E的标准方程．
（3）设直线l与椭圆E交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中点M的坐标为（x₀，y₀），将A，B的坐标代入椭圆方程中，得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，由此能够求出直线l的斜率k的取值范围
解：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x＞0）
因为动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F₂相外切，
所以|CF₂|-x=1，…（1分）
∴(x-1)²+y²=x+1化简整理得y²=4x，曲线C的方程为y²=4x（x＞0）； …（3分）（2）依题意，c=1，|PF₁|=，得x_p=，…（4分）∴|PF₂|=，又由椭圆定义得2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2．…（5分）∴b²=a²-c²=3，所以曲线E的标准方程为
=1．…（6分）（3）设直线l与椭圆E交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中点M的坐标为（x₀，y₀），将A，B的坐标代入椭圆方程中，得3x₁²+4y₁²-12=0，3x₂²+4y₂²-12=0两式相减得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，∴=-，…（7分）∵y₀²=4x₀，∴直线AB的斜率k==-y₀，…（8分）由（2）知x_p=，∴y_p²=4x_p=，∴y_p=±由题设-＜y₀＜ (y₀≠0)，∴-＜-y₀＜，…（10分）即-＜k＜（k≠0）．…（12分）
点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意点差法和等价转化思想的合理运用．