Question

11．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦点分别为F₁、F₂，在双曲线C上存在点P，满足△PF₁F₂的周长等于双曲线C的实轴长的3倍，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{3}{2}$）
• B． （0，$\frac{3}{2}$）
• C． （1，$\frac{5}{2}$）
• D． （0，$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 可设P为双曲线的右支上一点，|PF₁|=m，|PF₂|=n，运用双曲线的定义和P在右支上，有n＞c-a，结合不等式的性质和离心率公式计算即可得到所求范围．

解答 解：可设P为双曲线的右支上一点，
|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由双曲线的定义可得m-n=2a，
由题意可得m+n+2c=6a，
即有2n+2a+2c=6a，
即n=2a-c，
再由P在右支上，可得n＞c-a，
即有2a-c＞c-a，即c＜$\frac{3}{2}$a，
由e=$\frac{c}{a}$，可得1＜e＜$\frac{3}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．