Question

5．已知函数f（x）=ln（2x+1）-$\frac{2}{3}$x²．
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）若在区间[1，4]上恒有f（x₀）-C≥0，求C的最大值；
（3）若关于x的方程f（x）=x²+3x+a在[0，2]上恒有一解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出f（x）的单调区间，求出函数的极大值即可；
（2）根据f（x）的单调性，求出f（x）在[1，4]的最小值，从而求出C的范围即可；
（3）问题转化为ln（2x+1）-$\frac{5}{3}$x²-3x=a在[0，2]上恒有一解，令g（x）=ln（2x+1）-$\frac{5}{3}$x²-3x，求出g（x）在[0，2]的值域即a的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）=ln（2x+1）-$\frac{2}{3}$x²，f（x）的定义域是（-$\frac{1}{2}$，+∞），
∴f′（x）=$\frac{2}{2x+1}$-$\frac{4}{3}$x=$\frac{6-{8x}^{2}-4x}{3（2x+1）}$，
令f′（x）＞0，解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜-1+$\sqrt{13}$，令f′（x）＜0，解得：x＞-1+$\sqrt{13}$，
∴x=-1+$\sqrt{13}$时，f（x）取得极大值，此时f（-1+$\sqrt{13}$）=ln（$\sqrt{13}$-1）-$\frac{4}{3}$（7-$\sqrt{13}$）；
（2）由（1）得：f（x）在[1，-1+$\sqrt{13}$）递增，在（-1+$\sqrt{13}$，4]递减，
故函数f（x）在[1，4]的最小值是f（1）或f（4），而f（1）=ln3-$\frac{2}{3}$＞f（4）=ln9-$\frac{32}{3}$，
若在区间[1，4]上恒有f（x₀）-C≥0，只需C≤f（x）_min，x∈[1，4]，
故C≤ln9-$\frac{32}{3}$；
（3）若关于x的方程f（x）=x²+3x+a在[0，2]上恒有一解，
即ln（2x+1）-$\frac{5}{3}$x²-3x=a在[0，2]上恒有一解，
令g（x）=ln（2x+1）-$\frac{5}{3}$x²-3x，
g′（x）=$\frac{2}{2x+1}$-$\frac{10}{3}$x-3=$\frac{-（2{0x}^{2}+28x+3）}{3（2x+1）}$＜0在[0，2]恒成立，
故g（x）在[0，2]递减，g（x）_max=g（0）=0，g（x）_min=g（2）=ln5-$\frac{38}{3}$，
∴ln5-$\frac{38}{3}$≤a≤0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．