Question

已知函数f（x）=log_x（x+1），若整数k∈[3，2014]，且使f（3）•f（4）•f（5）…f（k）为整数，则k的最大值为

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据对数的运算性质可得 f（3）•f（4）•f（5）…f（k）=log₃（k+3）为整数，可得k+3=3ⁿ （n∈Z）．再由k∈[3，2014]，k∈（N^*），求得k的值，可得结论．

解答： 解：由题意可得 f（3）•f（4）•f（5）…f（k）=log₃4•log₄5•log₅6…log_（k+2）（k+3）=log₃（k+3）为整数，
可得 k+3=3ⁿ （n∈Z）．
又∵k∈[3，2014]，k∈（N^*），∴k=6，24，…728，
k的最大整数为：728．
故答案为：728；

点评：本题考查的知识点是对数的性质，其中利用换底公式的推论log_ab•log_bc=log_ac是解答本题的关键，属于中档题．