Question

已知△ABC中，∠B=

π

3

，cosA+cosC+

2

2

sin（A-C）=0，求角A、角C．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：运用三角形内角和定理，可得A+C，再由和差化简公式和二倍角正弦公式，化简整理，注意A，C的范围，即可求得A，C．

解答： 解：△ABC中，∠B=

π

3

，则A+C=

2π

3

，
由cosA+cosC+

2

2

sin（A-C）=0，
则2cos

A+C

2

cos

A-C

2

+

2

2

×2sin

A-C

2

cos

A-C

2

=0，
即有2cos

A-C

2

（cos

A+C

2

+

2

2

sin

A-C

2

）=0，
即cos

A-C

2

=0或cos

A+C

2

+

2

2

sin

A-C

2

=0，
则

A-C

2

=kπ+

π

2

，k∈Z，由于A，C均介于（0，

2π

3

），
则舍去；
由cos

A+C

2

+

2

2

sin

A-C

2

=0即为sin

A-C

2

=-

2

2

，
由A，C均介于（0，

2π

3

），

A-C

2

∈（-

π

3

，

π

3

）．
则

A-C

2

=-

π

4

，
即A-C=-

π

2

，又A+C=

2π

3

，
解得，A=

π

12

，C=

7π

12

．

点评：本题考查三角函数的求值，考查和差化积公式和二倍角的正弦公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．