Question

设f（x）=lnx+ax（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=1，证明：x∈[1，2]时，f（x）-3＜

1

x

成立．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，即可讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=1，构造函数，利用导数即可证明：x∈[1，2]时，f（x）-3＜

1

x

成立．

解答： 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
函数的f（x）的导数f′（x）=

1

x

+a，
当a＞0时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，
当a＜0时，f′（x）=

1

x

+a=

ax+1

x

，
由f′（x）＞0，解得0＜x＜-

1

a

，
由f′（x）＞0，解得x＜-

1

a

，
∴函数f（x）在（0，-

1

a

）上增函数，则（-

1

a

，+∞）是减函数；
（Ⅱ）若a=1，f（x）=lnx+x，要证明：x∈[1，2]时，f（x）-3＜

1

x

成立．
则只需要证明xlnx+x²-3x-1＜0，
则g′（x）=lnx+2x-2，
∵g′（1）=0，
∴设h（x）=lnx+2x-2，h′（x）=

1

x

+2＞0，x∈[1，2]，
∴h（x）在x∈[1，2]上单调递增，∴g′（1）≤g′（x）≤g′（2），
即0≤g′（x）≤2+ln2，
∴g（x）在[1，2]上单调递增，∴g（x）≤g（2）=2ln2-3＜0，
∴当x∈[1，2]时，xlnx+x²-3x-1＜0恒成立，即原命题得证．

点评：本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，综合考查导数的应用．