Question

8．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x²+y²=1，P为直线l：x=$\frac{4}{3}$上一点．
（1）若点P在第一象限，且OP=$\frac{5}{3}$，求过点P圆O的切线方程；
（2）若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；
（3）设直线l动点Q，⊙Q与⊙O相外切，⊙Q交L于M、N两点，对于任意直径MN，平面上是否存在不在直线L上的定点A，使得∠MAN为定值？若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出设点P的坐标．易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，切线为y-1=k（x-$\frac{4}{3}$），即kx-y+1-$\frac{4}{3}$k=0，利用点到直线间的距离公式可解得k，从而可得过点P的圆O的切线方程．
（2）设A（x，y），则B（$\frac{x+\frac{4}{3}}{2}$，$\frac{y+{y}_{0}}{2}$），因为点A、B均在圆O上，所以有圆x²+y²=1与圆（x+$\frac{4}{3}$）²+（y+y₀）²=4有公共点，继而可得点P纵坐标的取值范围；
（3）存在，点A的坐标为（$\frac{3±\sqrt{7}}{4}$，0）．

解答 解：（1）设点P的坐标为（$\frac{4}{3}$，y₀）．
因OP=$\frac{5}{3}$，所以（$\frac{4}{3}$）+y₀²=（$\frac{5}{3}$）²，解得y₀=±1．
又点P在第一象限，所以y₀=1，即P的坐标为（$\frac{4}{3}$，1）．
易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，
则切线为y-1=k（x-$\frac{4}{3}$），即kx-y+1-$\frac{4}{3}$k=0，于是有$\frac{|1-\frac{4}{3}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=0或k=$\frac{24}{7}$．
因此过点P的圆O的切线方程为：y=1或24x-7y-25=0．
（2）设A（x，y），则B（$\frac{x+\frac{4}{3}}{2}$，$\frac{y+{y}_{0}}{2}$），因为点A、B均在圆O上，所以有圆x²+y²=1与圆（x+$\frac{4}{3}$）²+（y+y₀）²=4有公共点．
于是1≤$\sqrt{\frac{16}{9}+{{y}_{0}}^{2}}$≤3，解得-$\frac{\sqrt{65}}{3}$≤y₀≤$\frac{\sqrt{65}}{3}$，即点P纵坐标的取值范围是[-$\frac{\sqrt{65}}{3}$，$\frac{\sqrt{65}}{3}$]．
（3）存在，点A的坐标为（$\frac{3±\sqrt{7}}{4}$，0）．（写出存在两字给2分）

点评 本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查点到直线间的距离公式、直线的点斜式方程，突出考查方程思想与综合运算能力，属于难题．