Question

11．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x-2）且f（-2-x）=f（-2+x），当x∈[0，2]时，$f（x）=cos\frac{π}{4}x$．
（1）求当x∈[-4，0]时，f（x）的解析式；
（2）求当$f（x）≥\frac{1}{2}$时，x的取值范围．

Answer 1

分析 利用函数的周期性及周期性和奇偶性，把所求区间变已知区间求解；（2）先求一个周期的解集，再利用周期求解．

解答 解：（1）：函数f（x）满足f（x+2）=f（x-2）⇒f（x）周期为4，又f（-2-x）=f（-2+x）=f（x+2），∴f（x）为偶函数．
∴当x∈[-2，0]时，$f（x）=f（-x）=cos\frac{π}{4}x$
当x∈[-4，-2）时，$f（x）=cos\frac{π}{4}（x+4）=cos（\frac{π}{4}x+π）=-cos\frac{π}{4}x$
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-cos\frac{πx}{4}…x∈[-4，2）}\\{cos\frac{πx}{4}…x∈[-2，0]}\end{array}\right.$
（2）x∈[0，4]时，f（x）=cos$\frac{πx}{4}$$≥\frac{1}{2}$⇒[$-\frac{4}{3}，\frac{4}{3}$]
x的取值范围：$x∈[-\frac{4}{3}+4k，\frac{4}{3}+4k]，k∈Z$

点评 本题考查函数的周期性和奇偶性，属基础题．