Question

19．已知函数f（x）=a^x（a^x-3a+1），其中a＞0且a≠1，又f（1）=-6
（1）求实数a的值；
（2）若x∈[-1，3]，求函数f（x）的值域．
（3）求函数f（x）零点．

Answer 1

分析 （1）根据f（1）=a•（1-2a）=-6，求得a的值．
（2）若x∈[-1，3]，令t=2^x，则t=2^x∈[$\frac{1}{2}$，8]，f（x）=g（t）=t（t-5）=${（t-\frac{5}{2}）}^{2}$-$\frac{25}{4}$，再利用二次函数的性质求得它的值域．
（3）令f（x）=0，求得2^x 的值，可得x的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=a^x（a^x-3a+1），
其中a＞0且a≠1，又f（1）=a•（1-2a）=-6，求得a=2，或 a=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
（2）若x∈[-1，3]，f（x）=a^x（a^x-3a+1）=2^x（2^x-5），
令t=2^x，则t=2^x∈[$\frac{1}{2}$，8]，f（x）=g（t）=t（t-5）=${（t-\frac{5}{2}）}^{2}$-$\frac{25}{4}$．
故当t=2^x =$\frac{5}{2}$时，f（x）=g（t）取得最小值为-$\frac{25}{4}$；
当t=2^x =8时，f（x）=g（t）取得最大值为24，
故函数的值域为[-$\frac{25}{4}$，24]．
（3）令f（x）=g（t）=0，求得t=0，或 t=5，即2^x =0（舍去）或2^x =5，∴x=log₂5．

点评 本题主要考查函数的零点的定义，二次函数的性质，属于中档题．