Question

1．设椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的右焦点为F，斜率为k（k＞0）的直线经过F并且与椭圆相交于点A，B．若5$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，则k的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 直线方程为y=k（x-1），联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出k的值．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的右焦点为F（1，0），
∵斜率为k（k＞0）的直线经过F，
∴直线方程为y=k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
∵5$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，
∴（5-5x₁，-5y₁）=（3x₂-3，3y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{8-3{x}_{2}}{5}}\\{{y}_{1}=-\frac{3{y}_{2}}{5}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8+2{x}_{2}}{5}=\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}3}}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2{y}_{2}}{5}=\frac{2}{5}k（{x}_{2}-1）=k（{x}_{1}+{x}_{2}）-2k=k•\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-2k}\end{array}\right.$，
解得k=$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、向量知识的合理运用．