Question

17．已知函数f（x）满足f（log₃x）=x-log₃（x²）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当n∈N^*时，试比较f（n）与n³的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）令log₃x=t，使用换元法求出f（x）的解析式；
（2）计算f（1），f（2），f（3），f（4），得出f（n）与n³的大小关系，使用数学归纳法证明．

解答 解：（1）令t=log₃x，则x=3^t，
所以f（t）=3^t-2t，故函数f（x）的解析式为f（x）=3^x-2x．       
（2）当n=1时，f（1）=1，n³=1，此时 f（1）=n³；
当n=2时，f（2）=5，n³=8，此时 f（1）＜n³；
当n=3时，f（3）=21，n³=27，此时 f（3）＜n³；
当n=4时，f（4）=73，n³=64，此时 f（4）＞n³；
猜想：当n≥4，n∈R*，都有f（n）＞n³．           
证明：①当n=4时，显然，猜想成立；
②假设当n=k时，猜想成立，即3^k＞k³+2k，
当n=k+1时，3^k+1=3×3^k＞3×（k³+2k）=3k³+6k，
又当k≥4时，（3k³+6k）-[（k+1）³+2（k+1）]=2k³-3k²+k-3=k•2k²-3k²+k-3≥4•2k²-3k²+k-3=5k²+k-3＞0，
故3k³+6k＞（k+1）³+2（k+1），
所以n=k+1时，3^k+1＞3k³+6k＞（k+1）³+2（k+1）结论成立，
由①②，根据数学归纳法可知，当n≥4，n∈R*，都有f（n）＞n³．

点评 本题考查了函数解析式的求解，数学归纳法证明，属于中档题．