Question

9．如图1，在路边安装路灯，路宽为OD，灯柱OB长为h米，灯杆AB长为1米，且灯杆与灯柱成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为2θ，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直．
（1）设灯罩轴线与路面的交点为C，若OC=5$\sqrt{3}$米，求灯柱OB长；
（2）设h=10米，若灯罩轴截面的两条母线所在直线一条恰好经过点O，另一条与地面的交点为E（如图2）；
（i）求cosθ的值；
（ii）求该路灯照在路面上的宽度OE的长；

Answer 1

分析 （1）作AE⊥OD，BF⊥AE，求出AF，BF，得出CE的长，根据tan∠ACE=$\frac{AE}{CE}$求出AE，从而得出OB的长；
（2）（i）在△AOB中，利用正弦定理求出sin∠BAO即可得出cosθ；
（ii）利用差角公式计算sin∠AEO，在△AOE中，利用正弦定理计算OE．

解答 解：（1）过A作AE⊥OD，垂足为E，过B作BF⊥AE，垂足为F，
则∠ABF=120°-90°=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OE=BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CE=OC-OE=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
在四边形ABOC中，∵∠BOC=∠BAC=90°，∠ABO=120°，
∴∠ACO=60°，
在Rt△ACE中，tan∠ACE=$\frac{AE}{CE}$=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{3}$CE=$\frac{27}{2}$，
∴OB=EF=AE-AF=13．
即灯柱OB高13米．
（2）（i）在△ABO中，由余弦定理得OA=$\sqrt{1+100-2×1×10×cos120°}$=$\sqrt{111}$，
由正弦定理得$\frac{OA}{sin120°}$=$\frac{OB}{sin∠BAO}$，∴sin∠BAO=$\frac{10×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{111}}$=$\frac{5\sqrt{37}}{37}$．
∴cosθ=sin∠BAO=$\frac{5\sqrt{37}}{37}$．
（ii）sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$，sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{20\sqrt{3}}{37}$，
∴sin∠AEO=sin（60°-θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{5\sqrt{37}}{37}$-$\frac{1}{2}•\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}$．
在△AOE中，由正弦定理得$\frac{OE}{sin2θ}$=$\frac{OA}{sin∠AEO}$，
解得OE=$\frac{OA•sin2θ}{sin∠AEO}$=$\frac{40\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了解三角形的实际应用，正余弦定理解三角形，属于中档题．