题目内容
设f（x）=
，其中a为正实数．
（1）求f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．
| ex |
| 1+ax2 |
（1）求f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性
专题：计算题,导数的概念及应用
分析：（1）求出原函数的导函数，得到在x=0处的导数值，再求出f（0），然后直接写出f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，即可求a的取值范围．
（2）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，即可求a的取值范围．
解答：
解：（1）∵f（x）=
，
∴f′（x）=ex•
，
∴f′（0）=1，
∵f（0）=1，
∴f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1；
（2）∵f（x）为R上的单调函数，
∴f′（x）在R上不变号，
∴a＞0且ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，
∴△=4a2-4a≤0，
∴0＜a≤1．
| ex |
| 1+ax2 |
∴f′（x）=ex•
| 1+ax2-2ax |
| (1+ax2)2 |
∴f′（0）=1，
∵f（0）=1，
∴f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1；
（2）∵f（x）为R上的单调函数，
∴f′（x）在R上不变号，
∴a＞0且ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，
∴△=4a2-4a≤0，
∴0＜a≤1．
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查函数的单调性，曲线上某点处的导数值，就是曲线在该点处的切线的斜率，是中档题．
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