Question

数列{a_n}中，a₁=1，且

1

an+1

+

1

an

=2n+1，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由题意可得，由a₁的值，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（Ⅱ）猜想an=

1

n2

，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答： 解：（Ⅰ）a₁=1，且

1

an+1

+

1

an

=2n+1，
∴

1

an+1

=-

1

an

+2n+1，
∴

1

a2

=-

1

a1

+2×1+1
∴a2=

1

4

，a3=

1

9

，a4=

1

16

…（2分）
（Ⅱ）猜想an=

1

n2

，（n∈N^*）…（2分）
证明：①当n=1时，左边=a₁，右边=

1

12

=1，猜测成立；
②假设当n=k（k∈N^*）时有ak=

1

k2

成立
则当n=k+1时，

1

ak+1

=-

1

ak

+2k+1=-k+2k+1=k+1，∴ak+1=

1

(k+1)2

．故猜测也成立．
由①②可得对一切n∈N^*，数列{a_n}的通项公式为an=

1

n2

（n∈N^*）…（4分）

点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．