Question

13．若直线ax+2by-2=0（a，b＞0）始终平分圆x²+y²-4x-2y=0的周长，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意得，直线过圆心（2，1），即 a+b=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）=3+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$，利用基本不等式求出其最小值．

解答 解：由题意得，直线过圆心（2，1），所以，a+b=1．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）=3+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$≥3+2$\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{2a}{b}$时，等号成立，
故答案为3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线和圆相交的性质，基本不等式的应用，解题的突破口是判断直线过圆心，解题的关键是利用a+b=1．