题目内容
香港违法“占中”行动对香港的经济、政治、社会及民生造成重大损失，据香港科技大学经济系教授雷鼎鸣测算，仅香港的“占中”行动开始后一个多月的时间，保守估计造成经济损失3500亿港元，相等于平均每名港人承受了5万港元的损失，为了挽回经济损失，某厂家拟在新年举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5-
（其中0≤x≤a2-3a+3，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+
）万元/万件．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
| 2 |
| x+1 |
| 20 |
| t |
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数模型的选择与应用
专题：应用题,函数的性质及应用
分析：（1）确定该产品售价为2×（
）万元，y=2×（
）×t-10-2t-x，销售量t万件满足t=5-
代入化简得该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）分类讨论，利用基本不等式及函数的单调性，可求厂家的利润最大．
| 10+2t |
| t |
| 10+2t |
| t |
| 2 |
| x+1 |
（2）分类讨论，利用基本不等式及函数的单调性，可求厂家的利润最大．
解答：
解：（1）由题意知，该产品售价为2×（
）万元，
y=2×（
）×t-10-2t-x，
销售量t万件满足t=5-
代入化简得y=20-（
+x），（0≤x≤a2-3a+3）
（2）y=21-（
+x+1）≤21-2
=17
当且仅当
=x+1即x=1时，上式取等号
当1≤a2-3a+3，即a≥2或0＜a≤1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当a2-3a+3＜1，即1＜a＜2时，y=
＞0，
故y=21-（
+x+1）在0≤x≤a2-3a+3上单调递增，
所以在0≤x≤a2-3a+3时，函数有最大值．促销费用投入x=a2-3a+3万元时，厂家的利润最大
综上述，当a≥2或0＜a≤1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当1＜a＜2时，促销费用投入x=a2-3a+3万元时，厂家的利润最大．
| 10+2t |
| t |
y=2×（
| 10+2t |
| t |
销售量t万件满足t=5-
| 2 |
| x+1 |
代入化简得y=20-（
| 4 |
| x+1 |
（2）y=21-（
| 4 |
| x+1 |
|
当且仅当
| 4 |
| x+1 |
当1≤a2-3a+3，即a≥2或0＜a≤1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当a2-3a+3＜1，即1＜a＜2时，y=
| -(x-1)(x+3) |
| (x+1)2 |
故y=21-（
| 4 |
| x+1 |
所以在0≤x≤a2-3a+3时，函数有最大值．促销费用投入x=a2-3a+3万元时，厂家的利润最大
综上述，当a≥2或0＜a≤1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当1＜a＜2时，促销费用投入x=a2-3a+3万元时，厂家的利润最大．
点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的运用，确定函数解析式是关键．
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B、
| ||
C、
| ||
D、
|
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|
A、
| ||
| B、1 | ||
C、
| ||
| D、2 |