Question

5．如图，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，PA=AB=BC，AD=2AB，点M，N分别在PB，PC上，且MN∥BC．
（Ⅰ）证明：平面AMN⊥平面PBA；
（Ⅱ）若M为PB的中点，求二面角M-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出MN∥AD，PA⊥AD，从而AD⊥平面PBA，进而MN⊥平面PBA，由此能证明平面AMN⊥平面PBA．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角M-AC-D的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵MN∥BC，BC∥AD，∴MN∥AD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD，
又∵AD⊥AB，PA∩AB=A，
∴AD⊥平面PBA，
∴MN⊥平面PBA，
又∵MN?平面AMN，
∴平面AMN⊥平面PBA．…（6分）
解：（Ⅱ）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
不妨设AB=1，则：A（0，0，0），C（1，1，0），$M（\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AC}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{AM}=（\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}）$，
设平面AMC的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则：$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}z=0\end{array}\right.$，
令x=1，则y=-1，z=-1，∴$\overrightarrow n=（1，-1，-1）$
平面ADC的一个法向量为$\overrightarrow m=（0，0，1）$，
∴$cos?\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m||\overrightarrow n|}=-\frac{1}{{\sqrt{3}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴二面角M-AC-D的余弦值为$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．