Question

2．已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+3．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）在[-1，2]上的最值；
（Ⅱ）若f（x）在（-$\frac{1}{2}$，1）上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x³+2x²-4x+3，
∴f′（x）=3x²+4x-4，
令f′（x）=0，得 x=-2 或 x=$\frac{2}{3}$．                  （1分）
∵-2∉[-1，2]，
∴f（x）在[-1，2]上的最值只可能在f（-1），f（$\frac{2}{3}$），f（2）取得，（2分）
而f（-1）=8，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{41}{27}$，f（2）=11，           （3分）
∴f（x）_max=f（2）=11，f（x）_min=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{41}{27}$．             （4分）
（Ⅱ）f′（x）=（3x-a）（x+a），
①当a＞0时，由f′（x）＜0，得-a＜x＜$\frac{a}{3}$，
所以f（x）在（-a，$\frac{a}{3}$）上单调递减，         （6分）
则必有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{3}≥1}\\{-a≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴a≥3，            （7分）
②当a＜0时，由f′（x）＜0，得$\frac{a}{3}$＜x＜-a，          （8分）
所以f（x）在（$\frac{a}{3}$，-a）上单调递减，
必有$\left\{\begin{array}{l}{-a≥1}\\{\frac{a}{3}≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴a≤-$\frac{3}{2}$，     （10分）
③当a=0时，函数f（x）在R上是单调递增函数，不满足f（x）在（-$\frac{1}{2}$，1）上是减函数，            （11分）
∴综上，所求 a 的取值范围为（-∞，$\frac{3}{2}$]∪[3，+∞）．                  （12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．