Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a²+b²=c²+$\sqrt{3}$ab，c=1，若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 运用余弦定理，可得C=$\frac{π}{6}$，由锐角三角形可得$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$，再由正弦定理，结合两角和差的正弦公式，以及正弦函数的图形和性质，可得a+b的范围，进而得到周长的范围．

解答 解：由a²+b²=c²+$\sqrt{3}$ab，可得
cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有C=$\frac{π}{6}$，
A+B=$\frac{5π}{6}$，
由题意可得0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，
可得$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$，
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{sin\frac{π}{6}}$=2，
则a=2sinA，b=2sinB．
则有a+b=2（sinA+sin（$\frac{5π}{6}$-A））
=2（$\frac{3}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA）
=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$），
由$\frac{2π}{3}$＜A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$，可得
$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{3}$）≤1，
即有a+b∈（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．
则△ABC周长的取值范围是（1+$\sqrt{3}$，1+2$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查两角和差的正弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．