题目内容

6.设函数f(x)=$\sqrt{2}$cosxsin(x-$\frac{π}{4}$).
(1)求f($\frac{π}{3}$)的值与函数f(x)的最小正周期;
(2)若x∈[0,$\frac{π}{2}$],求f(x)的单调减区间.

分析 (1)由两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解f($\frac{π}{3}$)的值,利用三角函数恒等变换的应用可求解析式f(x)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin(2x-$\frac{π}{4}$)$-\frac{1}{2}$,利用周期公式即可得解.
(2)由已知可求范围2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$],利用正弦函数的图象和性质可得$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$,即可解得f(x)的单调减区间.

解答 解:(1)f($\frac{π}{3}$)=$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{3}$sin($\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{2}}{2}×$(sin$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$-cos$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{2}}{2}×(\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2})$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$.
∵f(x)=$\sqrt{2}$cosxsin(x-$\frac{π}{4}$)=$\sqrt{2}$cosx(sinxcos$\frac{π}{4}$-cosxsin$\frac{π}{4}$)=sinxcosx-cos2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin(2x-$\frac{π}{4}$)$-\frac{1}{2}$.
∴函数f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π.
(2)∵x∈[0,$\frac{π}{2}$],
∴2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$],
∴当$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$,即$\frac{3π}{8}≤x≤\frac{π}{2}$,f(x)单调递减,
即f(x)的单调减区间为:[$\frac{3π}{8}$,$\frac{π}{2}$].

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.

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