题目内容
8．求满足下列条件的数列{an}的通项公式．（1）a1=1，an+1=an+2n+1；
（2）a1=1，an+1 =2nan；
（3）a1=2，an+1=a${\;}_{n}^{2}$（an ＞0）；
（4）a1=1，an+1=2an+1；
（5）a1=1，an+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．
分析 （1）通过an+1=an+2n+1可知an=an-1+2（n-1）+1，an-1=an-2+2（n-2）+1，…，a2=a1+2•1+1，累加计算即得结论；
（2）通过an+1 =2nan，可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2n，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2n-1，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=2n-2，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，累乘计算即得结论；
（3）通过对an+1=a${\;}_{n}^{2}$（an ＞0）两边同时取对数、计算可知数列{log2an}是以1为首项、2为公比的等比数列，进而计算可得结论；
（4）通过对an+1=2an+1变形可知an+1+1=2（an+1），进而数列{an+1}是以首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；
（5）通过对an+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$两边同时取倒数可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，进而数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，计算即得结论．
解答 解：（1）∵an+1=an+2n+1，
∴an=an-1+2（n-1）+1，
an-1=an-2+2（n-2）+1，
…
a2=a1+2•1+1，
累加得：an=a1+2[1+2+…+（n-1）]+（n-1）
=1+2•$\frac{n（n-1）}{2}$+n-1
=n2；
（2）∵an+1 =2nan，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2n，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2n-1，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=2n-2，
…
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=2•22•…•2n-2•2n-1=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
又∵a1=1，
∴an=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$；
（3）∵an+1=a${\;}_{n}^{2}$（an ＞0），
∴log2an+1=log2a${\;}_{n}^{2}$=2log2an，
∴$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n+1}}{lo{g}_{2}{a}_{n}}$=2，
又∵log2a1=log22=1，
∴数列{log2an}是以1为首项、2为公比的等比数列，
∴log2an=2n-1，
∴an=${2}^{{2}^{n-1}}$；
（4）∵an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1），
又∵a1+1=1+1=2，
∴数列{an+1}是以首项、公比均为2的等比数列，
∴an+1=2n，
∴an=2n-1；
（5）∵an+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2+{a}_{n}}{2{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$（n+1），
∴an=$\frac{2}{n+1}$．
点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
