Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=$\frac{π}{2}$+C，sinB=$\frac{3}{5}$．
（1）求cosC的值；
（2）若a+c=3$\sqrt{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）把C角用A，B角表示，结合诱导公式解题；（2）利用第一小问的结论，面积公式$\frac{1}{2}absinC$计算即可．

解答 解：（1）∵$；A=\frac{π}{2}+\\;C$A=$\frac{π}{2}$+C，
∴sinA=cosC，cosA=-sinC，
∵sinB=$\frac{3}{5}$，
∴$cosB=\frac{4}{5}$，
cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB，
cosC=$\frac{4}{5}sinC$+$\frac{3}{5}cosC$，
tanC=$\frac{1}{2}$∴$cosC=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）∵$a+c=3\sqrt{5}$，
∴$2R（sinA+sinC）=3\sqrt{5}$，
2R=5，a=2RsinA=2$\sqrt{5}$，b=2RsinB=3，
S=$\frac{1}{2}\\;absinC=\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了正弦定理，两角和差的正弦函数，同角三角函数的关系