Question

6．骨质疏松症被称为“静悄悄的流行病“，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学 （常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学20），对这50名同学进行骨质检测，检测情况如表：（单位：人）

	有骨质疏松症状	无骨质疏松症状	总计
常喝碳酸饮料的同学	22	8	30
不常喝碳酸饮料的同学	8	12	20
总计	30	20	50

（1）能否据此判断有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关？
（2）现从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，记甲、乙两同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
附表及公式．

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）根据列联表中的数据，计算K²的值，即可得到结论；
（2）X可能取值为0，1，2，求出相应的概率，可得X的分布列及数学期望E（X）．

解答 解：（1）由表中数据得K²的观测值${K^2}=\frac{{50×{{（{22×12-8×8}）}^2}}}{30×20×30×20}=\frac{50}{9}≈5.556＞5.024$
所以根据统计有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关有关．）（5分）
（2）由题可知从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，抽取方法有${C_8}^2=28$种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有${C_6}^2=15$种；恰有一人被抽到有${C_2}^1•{C_6}^1=12$种；两人都被抽到有${C_2}^2=1$种 （7分）
∴X可能取值为0，1，2，
$P（X=0）=\frac{15}{28}$，$P（X=1）=\frac{12}{28}=\frac{3}{7}$，$P（X=2）=\frac{1}{28}$
X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{12}{28}$	$\frac{1}{28}$

X的分布列为：
∴$E（X）=0×\frac{15}{28}+1×\frac{12}{28}+2×\frac{1}{28}=\frac{1}{2}$．（12分）

点评 本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的阅读与计算能力，属于中档题．