Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为直角三角形，则棱与底面垂直，如图所示，D是棱CC₁的中点，且∠ACB=90°，BC=1，AC=

3

，AA₁=

6

（Ⅰ）证明：A₁D⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：

分析：（Ⅰ） 由已知，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，证出B₁C₁⊥AA₁C₁C，从而得B₁C₁⊥A₁D；在矩形AA₁C₁C中，利用△ACC₁～△DC₁A₁，证出A₁D⊥AC₁，由线面垂直的判定定理即可证明：A₁D⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的基础上，设垂足（即为A₁D与AC₁的交点）为H，过A₁作AB₁的垂线，垂足为G，连GH，由三垂线定理逆定理，可证∠A₁GH为二面角A₁-AB₁-C₁的平面角，再解三角形A₁GH即可获解．

解答： （Ⅰ）证明：∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
∴BC⊥CC₁，
∵AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．
∵A₁D?平面ACC₁A₁，∴BC⊥A₁D，
而BC∥B₁C₁，则B₁C₁⊥A₁D．
在Rt△ACC₁与Rt△DC₁A₁中，

AC

CC1

=

DC1

AC1

=

2

2

，∴△ACC₁～△DC₁A₁，
∴∠AC₁C=∠DA₁C₁，
∴∠AC₁C+∠C₁DA₁=90°．即A₁D⊥AC₁．
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，
∴A₁D⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）解：如图，设A₁D∩AC₁=H，过A₁作AB₁的垂线，垂足为G，连GH，
∵A₁D⊥平面AB₁C₁，∴AB₁⊥A₁D，∴AB₁⊥平面A₁GH，
∴∠A₁GH为二面角A₁-AB₁-C₁的平面角．
在Rt△AA₁B₁中，AA₁=

6

，A₁B₁=2，
∴AB₁=

10

，
∴由等面积，可得A₁G=

2 15

5

；
在Rt△AA₁C₁中，AA₁=

6

，A₁C₁=

3

，
∴AC₁=3，∴由等面积，可得A₁H=

2

．
∴在Rt△A₁GH中，sin∠A₁GH=

30

6

，
∴cos∠A₁GH=

6

6

，
∴二面角B-AB₁-C₁的余弦值为-

6

6

．

点评：本题考查二面角的计算，直线和平面垂直的性质、判定，考查学生空间想象能力，计算能力、转化能力．空间问题平面化，是解决空间问题最核心的思想方法．