Question

已知函数f（x）=asinxcosx+

1

2

cos2x（a＞0）的最大值为1
（1）求a的值和函数周期；
（2）若f（

a

2

）=

4

5

（α∈（0，

π

3

）），求cosα的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用asinα+bcosα的最大值为

a2+b2

求a；
（2）由α=α+

π

6

-

π

6

，求值．

解答： 解：（1）函数f（x）=asinxcosx+

1

2

cos2x
=

1

2

asin2x+

1

2

cos2x=

1

2

a2+1

sin（2x+θ）（a＞0），
因为它的最大值为1，所以

a2+1

=2，解得a=

3

，
所以f（x）=sin（2x+

π

6

），其周期为π；
（2）由（1）得f（

a

2

）=

4

5

（α∈（0，

π

3

）），
即sin（α+

π

6

）=

4

5

，
所以（α+

π

6

）∈（

π

6

，

π

2

），cos（α+

π

6

）=

3

5

，
所以cosα=cos（α+

π

6

-

π

6

）=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

3 3 +4

10

．

点评：本题考查了三角函数的化简求值，对角 等价变换是关键，注意角度的范围以及三角函数的符号．