Question

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

．
（1）若f（x）是奇函数，求a的值；
（2）证明函数f（x）在R上是增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数定义求解．
（2）利用函数的单调性定义判断

解答：

2x-1

2x+1

解（1）：函数f（x）=a-

2

2x+1

，
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即a-

2

2-x+1

=-（a-

2

2x+1

），
化简得：a-2=-a，即可得a=1
（2）：函数f（x）=1-

2

2x+1

  设x₁＜x₂，可得2x1-2 x2＜0，2 x1+1＞0，2 x2+1＞0，
作差   f（x₁）-f（x₂）=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂），所以函数f（x）在R上是增函数

点评：本题考查了奇函数的定义，用函数单调性定义证明问题．