Question

已知A，B，C三点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），其中

π

2

＜α＜

3π

2

．
（1）求

CA

-

CB

；
（2）若|

CA

|=|

CB

|，求α的值；
（3）若

AC

•

BC

=-1，求

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

的值．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值,向量的模,向量的减法及其几何意义,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）依题意，可求得

CA

=（3-cosα，-sinα），

CB

=（-cosα，3-sinα），从而可得

CA

-

CB

；
（2）由|

CA

|=|

CB

|⇒tanα=1，

π

2

＜α＜

3π

2

，从而可得α的值；
（3）由

AC

•

BC

=-1⇒2sinαcosα=-

5

9

，将所求关系式中的“切”化“弦”，整理约分即可求得答案．

解答： （14分）解：（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
∴

CA

=（3-cosα，-sinα），

CB

=（-cosα，3-sinα），
∴

CA

-

CB

=（3，-3）；
（2）∵|

CA

|=|

CB

|，
∴（cosα-3）²+sin²α=cos²α+（sinα-3）²，
∴cosα=sinα，∴tanα=1．
∵

π

2

＜α＜

3π

2

，
∴α=

5π

4

；
（3）由（1）知

AC

•

BC

=(cosα-3，sinα)(cosα，sinα-3)
=（cosα-3）•cosα+sinα•（sinα-3）
=cos²α-3cosα+sin²α-3sinα=1-3（cosα+sinα），
∵

AC

•

BC

=-1，∴1-3（cosα+sinα）=-1，
∴cosα+sinα=

2

3

．
平方，得2sinαcosα=-

5

9

，
∴

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)

1+ sinα cosα

=2sinαcosα=-

5

9

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查平面向量的坐标运算，突出向量数量积的坐标运算的考查与应用，属于中档题．