Question

如图所示，PA⊥平面ABC，PA=AB，AB⊥BC，M为AB中点．
（Ⅰ）证明：面PBC⊥面PAB；
（Ⅱ）若PC与平面PAB所成角的正切值为

6

2

，求直线MC与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得PA⊥BC，AB⊥BC，从而BC⊥平面PAB，由此能证明面PBC⊥面PAB．
（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MC与平面PBC所成角的正弦值．

解答： （文）（本小题9分）．
（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
又BC?平面PBC，
∴面PBC⊥面PAB…（4分）
（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，
建立空间直角坐标系，
设PA=AB=2，M为AB中点，
∴AM=MB=1，PB=

4+4

=2

2

，
∵PC与平面PAB所成角的正切值为

6

2

，
∴tan∠BPC=

BC

PB

=

6

2

，
∴BC=

6

2

×2

2

=2

3

，
∴M（1，0，0），C（0，2

3

，0），P（2，0，2），B（0，0，0），

MC

=（-1，2

3

，0），

BP

=（2，0，2），

BC

=（0，2

3

，0），
设平面BPC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BP =2x+2z=0 n • BC =2 3 y=0

，取x=1，得

n

=（1，0，-1），
设直线MC与平面PBC所成角为θ，
sinθ=|cos＜

MC

，

n

＞|=|

-1

13 × 2

|=

26

26

．
∴直线MC与平面PBC所成角的正弦值为

26

26

．…（9分）

点评：本题考查面面垂直的证明，考查直线与平面所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．