Question

如图，底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（1）求证：面PBD⊥面PAC；
（2）在边BC上是否存在点M（异于B，C）使二面角P-DM-B的大小为60°？若存在，请指出M的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得BD⊥PA，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，由此能证明面PBD⊥面PAC．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在边BC上存在点M，使二面角P-DM-B的大小为60°，且BM=4．

解答： （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，
又AD=2，AB=2

3

，BC=6，
∴tan∠ABD=

AD

AB

=

3

3

，tan∠BAC=

BC

AB

=

3

，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∠AEB=90°，
即BD⊥AC，
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，∴面PBD⊥面PAC．
（2）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，
AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设BM=t（0＜t＜6），由已知得：
P（0，0，3），D（0，2，0），
B（2

3

，0，0），M（2

3

，t，0），

PD

=（0，2，-3），

PM

=（2

3

，t，-3），
设平面PDM的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • PD =2y-3z=0 n • PM =2 3 x+ty-3z=0

，
取z=2，得

n

=（

6-3t

2 3

，3，2），
由题意平面BDM的法向量

m

=（0，0，1），
∵二面角P-DM-B的大小为60°，
∴cos60°=cos＜

m

，

n

＞=

2

( 6-3t 2 3 )2+13

=

1

2

，
解得t=0（舍）或t=4．
∴在边BC上存在点M，使二面角P-DM-B的大小为60°，且BM=4．

点评：本题考查面与面垂直的证明，考查在边BC上是否存在点M（异于B，C）使二面角P-DM-B的大小为60°的判断与求法，解题时要注意向量法的合理运用．