Question

若4a²-3b²=12，则|2a-b|的最小值是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：设出a=

3

secα，b=2tanα，化简2a-b，可令

3

cosα

-

sinα

cosα

=t，运用两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域得到不等式，解得即可得到最小值．

解答： 解：4a²-3b²=12，即为

a2

3

-

b2

4

=1，
可设a=

3

secα，b=2tanα，
则有2a-b=2

3

secα-2tanα=2•（

3

cosα

-

sinα

cosα

）
可令

3

cosα

-

sinα

cosα

=t，
即有

3

=sinα+tcosα=

1+t2

sin（α+θ）（θ为辅助角），
由于|sin（α+θ）|≤1，即1+t²≥3，
解得|t|≥

2

，
则有|2a-b|=|2t|≥2

2

．
则最小值为2

2

．
故答案为：2

2

点评：本题考查双曲线的参数方程的运用，考查三角函数的化简和求最值，考查两角和的正弦公式，及正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．