Question

如果函数y=f₁（x）≥0和y=f₂（x）≥0在区间D上都是增函数，那么函数y=

f1(x)

+

f2(x)

在区间D上也是增函数，现设f（x）=

x- 1 x

+

1- 1 x

．
（1）求函数f（x）的定义域
（2）求函数f（x）的值域
（3）若x₀=f（x₀），求x₀的值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）使函数f（x）有意义即可求得f（x）的定义域为[-1，0）∪[1，+∞）；
（2）设f1(x)=x-

1

x

，f2(x)=1-

1

x

，通过求导，容易判断函数f（x）在[-1，0），[1，+∞）上单调递增，所以根据已知条件记得f（x）在[-1，0），[1，+∞）上单调递增，根据单调性即可求得f（x）的值域[0，+∞）；
（3）由（1）（2）即可知道x₀≥1，并得到方程x0=

x0- 1 x0

+

1- 1 x0

，通过两边平方去根号的方法解该方程即可．

解答： 解：（1）要使f（x）有意义，则：

x- 1 x ≥0 1- 1 x ≥0

，解得：
-1≤x＜0，或x≥1；
∴f（x）的定义域为[-1，0）∪[1，+∞）；
（2）设f1(x)=x-

1

x

，f2(x)=1-

1

x

；
∴f′1(x)=1+

1

x2

＞0，f′2(x)=

1

x2

＞0；
∴f₁（x），f₂（x）在[-1，0），和[1，+∞）上都为增函数；
∴根据已知条件知，f（x）在[-1，0），[1，+∞）上为增函数；
∵x∈[-1，0），x趋向0时，-

1

x

趋向正无穷，∴f（x）趋向正无穷；x∈[1，+∞），x趋向正无穷时，x趋向正无穷，∴f（x）趋向正无穷；
∴f（x）≥

2

，或f（x）≥0；
∴f（x）≥0；
∴f（x）的值域为[0，+∞）；
（3）根据f（x）的定义域和值域，知x₀≥1；
x0=

x0- 1 x0

+

1- 1 x0

；
∴x0-

1- 1 x0

=

x0- 1 x0

，两边平方并整理得：
x02-x0+1=2

x02-x0

，两边平方并整理得，(x02-x0-1)2=0；
∴x02-x0-1=0，x₀≥1；
∴解得x0=

1+ 5

2

．

点评：考查函数定义域、值域的定义及求法，函数导数符号和函数单调性的关系，根据函数的单调性求函数的值域，以及两边平方去根号的方法解无理方程．