Question

14．设抛物线y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁、F₂为焦点，离心率e=$\frac{1}{2}$的椭圆与抛物线的一个交点为$E（\frac{2}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}）$；自F₁引直线交抛物线于P、Q两个不同的点，点P关于x轴的对称点记为M，设$\overrightarrow{{F_1}P}=λ\overrightarrow{{F_1}Q}$．
（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：$\overrightarrow{{F_2}M}=-λ\overrightarrow{{F_2}Q}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆的方程；再由焦点坐标可得m=1，进而得到抛物线的方程；
（Ⅱ）记P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、M（x₁，-y₁），由向量共线的坐标表示，结合分析法和联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理即可得证．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由E在椭圆上，得$\frac{4}{{9{a^2}}}+\frac{24}{{9{b^2}}}=1$①，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$ ②
由①、②解得a²=4，b²=3，
椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
可得焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），
可得抛物线y²=4mx（m＞0）的准线为x=-m，
即有m=1，易得抛物线的方程是：y²=4x；
（Ⅱ）证明：记P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、M（x₁，-y₁），
由$\overrightarrow{{F_1}P}=λ\overrightarrow{{F_1}Q}$得x₁+1=λ（x₂+1），
于是有λ=$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$，①
欲证：$\overrightarrow{{F_2}M}=-λ\overrightarrow{{F_2}Q}$，只需证：$λ=\frac{{{x_1}-1}}{{1-{x_2}}}$，②
由①②知：只需证明：$\frac{{{x_1}-1}}{{1-{x_2}}}$=$\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}$，
化简为：x₁x₂=1，
设直线PQ的方程为y=k（x+1），
与抛物线的方程联立，得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
根据韦达定理：x₁+x₂=$\frac{{2{k^2}-4}}{k^2}$，x₁x₂=1，
根据以上步骤可知：$\overrightarrow{{F_2}M}=-λ\overrightarrow{{F_2}Q}$成立．

点评 本题考查椭圆和抛物线的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，以及抛物线的性质，考查向量共线的证明，注意运用分析法和联立方程，结合韦达定理，属于中档题．